ANALISIS ALGORITMA

Graph adalah kumpulan dari titik ( node )  dan garis dimana pasangan-pasangan titik ( node ) tersebut dihubungkan oleh segmen garis.  Node ini biasa disebut simpul (verteks) dan segmen garis disebut ruas (edge).

Simpul dan ruas dalam graph dapat diperluas dengan penambahan informasi.  Sebagai contoh, simpul bisa diberi nomor atau label dan ruas dapat diberi nilai juga.  Perluasan dengan pemberian informasi ini sangat berguna dalam penggunaan graph untuk banyak aplikasi komputer.  Contoh, graph dengan simpul yang merepresentasikan kota dan ruas merepresentasikan jarak yang ditempuh diantara kota-kota tsb.  (atau harga tiket pesawat antara kota-kota tsb.) , dapat digunakan sebagai “transportation network” untuk mempelajari total jarak (atau harga) dari suatu perjalanan dengan banyak kota pemberhentian.  Satu kemungkinan pertanyaan yang bisa muncul adalah “Jalur mana yang terpendek dengan satu atau lebih tempat pemberhentian, yang menghubungkan kota tertentu menuju kota tertentu lainnya dalam transportation network tersebut ?”.

Dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam bidang akademis banyak persoalan yang dimodelkan dengan graph.  Graph dipakai untuk membantu pemecahan masalah.  Dari model graph yang dibuat, suatu masalah dapat dipahami menjadi lebih mudah.  Untuk kemudian diturunkan metode pemecahannya.

Menurut catatan sejarah, masalah jembatan Konigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graph (th. 1736).  Masalah Jembatan Konigsberg adalah : “ apakah mungkin melalui tujuh buah jembatan masing-masing tepat satu kali.  Dan kembali lagi ke tempat semula ?” . Tak seorangpun yang dapat memecahkan masalah ini.  Barulah Euler yang pertama kali menemukan jawabannya.  Ia memodelkan masalah dengan memodelkannya ke dalam graph.  Daratan (titik-titik yang dihubungkan oleh jembatan) dinyatakannya sebagai simpul (vertex) dan jembatan sebagai sisi.  Graph dibuat oleh Euler diperlihatkan pada gambar dibawah atas.

Jawabannya adalah : Orang tidak mungkin berjalan melalui ketujuh jembatan masing-masing satu kali dan kembali ke tempat asal keberangkatan.  Singkatnya, tidak terdapatsiklus Euler pada Graph tersebut.

Graph yang memenuhi kondisi diatas tersebut kemudian dikenal dengan nama Graph Euler dan perjalanannya disebut perjalanan euler.

Perjalanan Euler adalah :
Perjalanan dari suatu simpul kembali ke simpul tersebut dengan melalui setiap ruas tepat satu kali.

Perjalanan Euler akan terjadi, jika :
–   Graf terhubung.
–   Banyaknya ruas yang datang pada setiap simpul adalah genap.

Definisi Graf Graf G (V, E), adalah koleksi atau pasangan dua himpunan

(1) Himpunan V yang elemennya disebut simpul atau titik, atau vertex, atau point, ataunode.
(2) Himpunan E yang merupakan pasangan tak terurut dari simpul, disebut ruas ataurusuk, atau sisi, atau edge, atau line.

Banyaknya simpul (anggota V) disebut order Graph G, sedangkan banyaknya ruas (anggota E) disebut ukuran (size) Graph G

Pada Gbr 2, G (V,E) adalah graph dengan
V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12, e13, e14, e15, e16 }

Ruas
e1    =  (1,2)
e2    =  (2,3)
e3    =  (1,1)
e4    =  (2,4)
e5    =  (3,4)
e6    =  (1,5)
e7    =  (1,6)
e8    =  (2,6)
e9    =  (2,7)
e10  =  (3,8)
e11  =  (4,8)
e12  =  (4,7)
e13  =  (4,7)
e14  =  (7,8)
e15  =  (5,6)
e16  =  (7,10)

Pada Graph G (gbr.2) , Order = 10 dan Ukuran = 16

Pada Graph G (gbr.2), ruas e12 = (4,7) dan ruas e13 = (4,7) dinamakan ruas bergandaatau ruas sejajar (multiple edges atau paralel edges), karena kedua sisi ini menghubungi dua buah simpul yang sama, yaitu simpul 4 dan simpul 7.

Pada Graph G (gbr.2), ruas e3 = (1,1) dinamakan gelung atau self-loop karena ia berawal dan berakhir pada simpul yang sama.

Derajat (Degree) suatu simpul d(v) adalah banyaknya ruas yang menghubungi simpul tersebut.

Sedangkan Derajat Graph G adalah jumlah derajat semua simpul pada Graph G.

Pada Gbr 2, derajat simpul

d(1)   =  5
d(2)   =  5
d(3)   =  3
d(4)   =  5
d(5)   =  2
d(6)   =  3
d(7)   =  5
d(8)   =  3
d(9)   =  0
d(10) =  1      +
= 30

Maka derajat Graph G adalah 32 dan jumlah derajat semua simpul Graph (derajat Graph) = dua kali banyaknya ruas Graph (size/ukuran Graph).

Simpul 9 dikatakan simpul terpencil / simpul terisolasi, karena d(9) = 0 dan simpul 10 dikatakan simpul bergantung / simpul akhir karena d(10) = 1

Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graph, maka graph digolongkan menjadi dua jenis:

1. Graph sederhana (simple graph).
Graph yang tidak mengandung gelung maupun sisi-ganda dinamakan graph sederhana.

2. Graph tak-sederhana (unsimple-graph/multigraph).

Graph yang mengandung ruas ganda atau gelung dinamakan graph tak-sederhana (unsimple graph atau multigrapf).

Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graph, maka secara umum graph dapat digolongkan menjadi dua jenis:

1. Graph berhingga (limited graph)
Graph berhingga adalah graph yang jumlah simpulnya, n, berhingga.

2. Graph tak-berhingga (unlimited graph)
Graph yang jumlah simpulnya, n, tidak berhingga banyaknya disebut graph tak-berhingga.

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graph dibedakan atas 2 jenis:

1. Graph tak-berarah (undirected graph)
Graph yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graph tak-berarah.

2. Graph berarah (directed graph atau digraph)
Graph yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graph berarah.

Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graph. G1 = (V1, E1), jika V1 ⊆ V dan E1 ⊆ E. maka G1adalah subgraph (subgraph) dari G .

G = (V, E)

Dengan         V = { A, B, C, D }

E = { e1, e2, e3, e4, e5 }

Dan

G1 = (V1, E1)

Dengan         V1 = { A, B, D }  ⊆ V

E1 = { e1,  e5 }  ⊆ E

Komplemen dari subgraph G1 terhadap graph G adalah graph G2 = (V2, E2) sedemikian sehingga E2 = E – E1 dan V2 adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E2 bersisian dengannya.

G = (V, E)

Dengan         V = { A, B, C, D }

E = { e1, e2, e3, e4, e5 }

G1 = (V1, E1)  subgraph dari G

Dengan         V1 = { A, B, D }  ⊆ V

E1 = { e1,  e5 }  ⊆ E

G2 = (V1, E1)  subgraph dari G

Dengan         V2 = { B, C, D }  ⊆ V

E2 = { e2, e3, e4 }  ⊆ E

Dan terlihat  E2 = E – E1

Subgraph yang Direntang (Spanning Subgraph) Apabila E‘ mengandung semua ruas di E yang kedua ujungnya di V‘ , maka G‘ adalah Spanning Subgraph dari G yang  dibentuk oleh V‘ .

G2 = (V1, E1)  Spanning subgraph dari G

Dengan         V2 = { B, C, D }  ⊆ V

E2 = { e2, e3, e4 }  ⊆ E

Anggota E2 adalah semua ruas dari G yang menghubungkan simpul di V2.

Dua buah simpul dikatakan bertetangga (Adjacent) bila keduanya terhubung langsung oleh sebuah ruas.

Pada graph G disamping,

simpul A bertetangga dengan simpul B dan D,

simpul A tidak bertetangga dengan simpul C

Untuk sembarang ruas e = (vj, vk) dikatakan :

e bersisian dengan simpul vj , atau  e bersisian dengan simpul vk

Pada graph G

ruas e5 bersisian dengan simpul A dan simpul D,  tetapi

ruas e5 tidak bersisian dengan simpul B

Simpul terpencil (Isolated Vertex) ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya atau simpul bererajat 0 (nol).

1.7. Keterhubungan

REFERENSI

http://sri_wiji.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/folder/0.0